Цели урока:
- Проверить и систематизировать знания учащихся по теме «Конус»
- Ввести понятие усечённого конуса, его элементов, вывести формулы для вычисления площади боковой о полной поверхности усечённого конуса.
- Рассмотреть решение задач по теме «Конус. Усечённый конус», учить учащихся решать задачи по данной теме.
Оборудование:
- Карточки для опроса
- Карточки для решения задач (ЕГЭ – 8 задание)
- Компьютер, проектор, экран (для демонстрации презентации)
- Модели конуса и усечённого конуса
- Система Votum
Ход урока
I. Актуализация знаний (Слайд 1, презентация)
Учитель: В ходе изучения темы «Конус» мы уже познакомились с целым рядом интересных и полезных фактов. В частности, это определения конуса и его элементов, формулы для нахождения боковой и полной поверхности конуса, рассмотрели примеры «Конусы вокруг нас» (Слайд 2, презентация). Коротко повторим эти факты.
II. Повторение
1. Фронтальный опрос (Модель конуса и слайд 3,4, презентация)
Закончите предложение:
- Конус – это… (тело, которое ограничено конической поверхностью
и кругом в основании) (Слайд3, презентация) - (Слайд 4, презентация)
- Ось симметрии конуса
- Образующие
- Вершина конуса
- Боковая поверхность
- Основание конуса
- Радиус конуса
3. Тест в системе Votum или с помощью презентации (Слайды 5-13, презентация) (Приложение 2)
5. Решение задач ЕГЭ - 8 задание 2012 год (Слайд 15, 16, презентация) - устно
Задача 1 . Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.
Задача 2 . Образующая конуса 10 см, а диаметр основания 12 см. Найдите высоту конуса.
6. Решение задач по карточкам (Приложение 3)
Задача (1 группа – решаем на интерактивной доске)
Образующая конуса равна 15 см, радиус его основания 12 см. Через его вершину и хорду основания, равную 18 см, проведено сечение. Найдите высоту конуса, площадь сечения.
Задача (2 группа – самостоятельное решение на оценку по заданному алгоритму), (Приложение 4)
Через две образующие конуса проведено сечение, его основание равно 16 см. Радиус основания конуса 10 см. Угол между плоскостями сечения и основания 60º. Найдите высоту конуса, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения; площадь полной поверхности конуса.
8. Подготовка к восприятию нового материала
- Назовите, что было сечением в наших задачах?
- Какие ещё фигуры могут получиться при пересечении конуса плоскостью?
- Что получится, если мы разрежем конус на части по плоскости сечения, проведенной параллельно основанию?
9. Задача (Устно)
Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания 14см и 8 см, а высота 4 см. Слайд 18, презентация
III . Новый материал (Модели конуса, усечённого конуса, слайды 19 – 22, презентация)
1. Определение усечённого конуса (Слайд 19, презентация)
Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
2. Осевое сечение конуса (Слайд 19, презентация)
Осевое сечение усечённого конуса - равнобедренная трапеция
3. Элементы усечённого конуса (Слайд 20, презентация)
4. Определение образующей усечённого конуса (Слайд 21, презентация)
Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями.
5. Определение высоты усечённого конуса (Слайд 21, презентация)
6. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.
7. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
8. Как можно получить усечённый конус?
Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD (Слайд 22, презентация)
IV . Закрепление
«Урок Объём цилиндра» - 0. Осевое сечение - ……………. У. «Вычисление объёма цилиндра». D1. A1. B. D. R. Любые осевые сечения цилиндра ….. между собой. Прямой цилиндр.
«Объём цилиндра» - Объём усечённого конуса. Башня в Гёреме (Иран) Туманность конуса. Цилиндр: история. Цилиндры из жизни. Ведро – пример усечённого конуса. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Объём цилиндра Объём конуса. Конус: история. Тела вращения. Цилиндры-башни. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
«Цилиндр конус шар» - Виды тел вращения. Завершить работу. Сечение конуса. Тела вращения. Площади поверхностей тел вращения. Объёмы и поверхности тел вращения. Объёмы тел вращения. Сечения шара. Шаровой сектор. Объём шарового сегмента. Определение конуса. Определение шара. Доказательство. Объема сегмента. Объём сектора V=2/3ПR2H.
«Цилиндр» - Ось цилиндра. Основания цилиндра. А. Цилиндрическая поверхность. Образующие цилиндра параллельны друг другу. Радиус цилиндра. В.
«Цилиндр геометрия 11 класс» - 4.Сечения цилиндра. 4. Тема: Цилиндр. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 4. Радиус основания. 1.Примеры цилиндров. 2. Осевое сечение. 1. Геометрия 11 класс. 1. Основание цилиндра. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр. Теоретический материал Задачи. 2. Образующие. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку.
«Поверхность цилиндра» - L1. L. A. Shevchenko R. Trushenkov. Осевое сечение. Ось цилиндра. Основания цилиндра. «Понятие цилиндра». Algebra & Geometria Entertainment. Film by: Образующие.
Всего в теме 35 презентаций
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Усеченный конус. МОУ СОШ №46 гПетрозаводск
Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.
Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.
Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса? 8 ?
Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.
Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса. 8 ?
Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.
Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая. 36 ?
Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Доказательство: Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.
Доказательство: Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца. Замечание:
Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции. ?
Задача. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.
Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение. Решение:
1) Вычислим радиус большего основания. Решение:
2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса. Решение:
3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса. Решение: ~
4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов. Решение:
Формула объема усеченного конуса. Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.
Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов. Доказательство:
Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников. Доказательство: ~
Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований. Доказательство: ~
Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса. Доказательство:
Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований. 149 π ?
Подобные цилиндры и конусы. Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.
Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.
В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому? ?
Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы радиусов или высот.
В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На каком расстоянии от основания находится сечение? ? 2
Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса. Задача.
Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение конуса. Решение:
1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений. Решение:
2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую часть от полного конуса составляют меньшие конусы. Решение: V – объем наибольшего конуса
3) Определим, какую часть от объема полного конуса составляют усеченные конусы, расположенные между соседними сечениями и найдем отношение объемов этих конусов. Решение: Ответ: V 1:V 2:V 3 = 127: 168: 217
В курсе изучения стереометрии большое внимание уделяется детальному исследованию основных пространственных фигур, например, параллелепипед, сфера, цилиндр. Данная презентация посвящена рассмотрению конуса. На практике можно достаточно часто встретить предметы, напоминающие нам конус. При их конструировании появляется необходимость знать, каким образом необходимо считать те или иные основные характеристика, будь то высота, площадь или объем.
Презентация «Усеченный конус» поможет провести интересный школьный урок для учащихся 10 класса. Особенно полезным это будет для начинающих учителей. Ведь им очень трудно на первых этапах своей карьеры привлекать внимание школьников, добиться того, чтобы большая часть их них понимали суть той или иной темы.
Как выглядит конус и некоторые его основные характеристики уже известны школьникам к моменту рассматривания данной темы. На первом слайде презентации приводится иллюстрация усеченного конуса. Мы видим, что он имеет два основания, которые лежат на параллельных плоскостях. И первое, и второе основание представляет собой круг. Также стоит отметить, что эти круги являются подобными фигурами, по одному из признаков подобия.
Каким образом из обычного конуса можно получить усеченный? Это подробно демонстрируется на иллюстрации, которая приведена на втором слайде. Если разрезать вертикально конус, то получим подобный основному конусу конус и усеченный конус, который составляет нижнюю часть.
На третьем слайде приводится подробное описание названий основный составляющих конуса. Это основания, высота, образующая и боковая поверхность усеченного конуса.
Если взять трапецию и покрутить вокруг оси, то есть одно из оснований конуса, то получим усеченный конус. Это демонстрируется на следующем слайде на двух иллюстрациях.
Формула боковой поверхности усеченного конуса выводится поэтапно на следующем слайде. Если рассмотреть каждый шаг, то можно понять и запомнить лучше формулу площади.
Усеченный конус выводится на иллюстрации в виде разреза, изображенного на плоскости. Это поможет увидеть школьникам наглядно, площадь какой именно геометрической фигуры им приходится изучать.
Итак, данная презентация максимально доступно и понятно объясняет школьникам тему «Усеченный конус». С помощью презентации, ученики могут вспомнить изученный урок и готовиться к выполнению домашнего задания, контрольных и самостоятельных.
На последнем слайде презентации приводится практический пример, на основе которого можно понять, каким образом необходимо правильно воспользоваться изученными ранее формулами на практике.
Загрузка...